ロケみつ確率論シリーズ第４弾。ヨーロッパ編DVD全プレトレカをまともにコンプしようと思ったら？

ひさびさの確率論シリーズ。かなり大部になったので昨日のエントリから分離独立させました。

ヨーロッパ横断編DVDの初回特典全プレ7回連続初回購入特典：トレカ全種入りアルバムプレゼントだと！？ - gavangavanの日記。今回のトレカ収集を全プレ抜きで考えた場合、一体何枚買うとどのくらいの確率でコンプできるのでしょうか。計算してみましょう。まず、各巻ごとに５種類のカード（２７巻は００１−００５、２８巻は００６−０１０）が設定されているので、その５種類をコンプするために何枚同じDVDを買わねばならないかｗ、という見積もりであります。

過去の確率論シリーズはこちら：
ロケみつサイコロの確率論 - gavangavanの日記
伍号機新ルールに基づくといつゴールできるのか確率的に見積もった - gavangavanの日記
ロケみつ確率論シリーズ第３弾。本当にあのサイコロは偏ってないのか？ - gavangavanの日記

【前提】

1つのDVDに封入されている3枚は全ての別の種類と仮定。

【１枚目を買った状態】

３枚のトレカが手に入ります。この３種類は仮定よりすべて異なる種類です。したがってコンプまで残り２種のトレカを手に入れればよいわけです。以後追加購入するDVDにこの未取得の２種が入っているかどうかに着目して確率計算します。

【２枚目を買った場合】

追加で２枚目の同じ巻のDVDを買ったとします。中には新たに３枚のトレカが入っています。

コンプできる確率

最初のDVDに入ってなかった2種類ともに2枚目のDVDに封入の3種の中に入っていればこの時点でコンプです。その確率は、１枚目がアタリの確率が2/5、２枚目は１枚目と異なるアタリを引く必要がありますが１枚目と同じ種類がくることは仮定からありませんので残り４種類のうちからアタリの１種をひく、つまり×1/4となります。３枚目はなんでも構いません（ｘ１）。ここでアタリの２枚は３枚のうちどこで出てもOKなのでCombi(3,2)倍する必要があります。したがって３枚中に残りの２枚が入っている確率は
Combi(3,2)*2/5*1/4*1 = 3/10=30%
となります。

残り1種になる確率

３枚のうち１枚がアタリ(2/5)で、残り２枚が既に持っている種類の場合(3/4*2/3)です。アタリが出る順番を考慮していけば３つの場合に分けることができ、その総和を取れば
(アタリ)(ハズレ)(ハズレ)＋(ハズレ)(アタリ)(ハズレ)＋(ハズレ)(ハズレ)(アタリ)
= 2/5*3/4*2/3+3/5*2/4*2/3+3/5*2/4*2/3 = 2/10+2/10+2/10 = 6/10=60%
となります。

残り2種のままの確率

３枚のうち１枚もアタリが入っていない場合です。ハズレの種類は既得の３種ですから、最初の１枚がハズレなのは3/5、２枚目は最初の１枚と必ず違う種類であることを考慮すれば2/4、３枚目がハズレなのは同様に1/3です。全部ハズレなのはこの組み合わせしかありませんから、全てかければ
3/5*2/4*1/3=6/60 = 1/10=10%
となります。

【３枚目を買った場合】

２枚目を買ったあとコンプ出来なかった場合、残り１種の状況(6/10)と残り２種の状況(1/10)にわかれます。

コンプできる確率

＊＊残り１種になっているとき：
３枚目に入っている３枚に残り１種が１枚入っていればコンプです。その確率は１枚目にアタリが出る（1/5）か、１枚目がハズレで２枚目がアタリ（4/5*1/4)か、２枚目もハズレで３枚目がアタリ（4/5*3/4*1/3)の総和なので（何枚目にアタリが出ても同じと考えて1/5*3としてもよい。）、
6/10*(1/5+4/5*1/4+4/5*3/4*1/3)=6/10*3/5 = 36/100
となります。

＊＊残り２種になっているとき：
３枚目の３枚のうち２枚がアタリであればコンプできます。これは２枚目のDVDを買ったときにコンプできる確率と同じですから、
1/10*(3/10) = 3/100
となります。

よって上の２つのケースの合計39/100=39%の確率でコンプ可能となります。

コンプできない確率

それ以外のケースは３枚目でコンプできません。この場合、次のステップのために、残り１種（リーチ）の場合と残り２種（１枚も新規で取れなかった）の場合にわけて計算しておきます。

＊＊２枚目で残り１種になっているとき：
３枚ともにハズレの場合です。
6/10*4/5*3/4*2/3 = 24/100

＊＊２枚目で残り２種になっているとき：
１枚アタリでリーチになる場合と、全部ハズレのケースがあります。
　　残り１種になる場合： 1/10*6/10 = 6/100
　　残り２種のままの場合： 1/10*1/10 = 1/100
両者をあわせると
＊残り１種になる確率: 30/100=30%
＊残り２種のままの確率: 1/100=1%
となります。

【４枚目を買った場合】

３枚目と同様に場合分けして考えます。残り１種（リーチ）になっているのは3/10、残り２種なのは1/100。

コンプできる確率

＊＊３枚目で残り１種になっているとき：
３枚のうち１枚がアタリであればコンプ。
3/10*(1/5+4/5*1/4+4/5*3/4*1/3)=3/10*3/5 = 18/100

＊＊３枚目で残り２種になっているとき：
３枚のうち２枚がアタリであればコンプ。これは２枚目DVDでコンプする確率と同じ。
1/100*(3/10) = 3/1000
よって合計183/1000=18.3%の確率でコンプ可能。

コンプできない確率

＊＊３枚目で残り１種になっているとき：
3/10*4/5*3/4*2/3 = 12/100

＊＊３枚目で残り２種になっているとき：
　　残り１種になる場合： 1/100*6/10 = 6/1000
　　残り２種のままの場合： 1/100*1/10 = 1/1000
あわせると
＊残り１種になる確率: 126/1000=12.6%
＊残り２種のままの確率: 1/1000=0.1%

……あとは同じ要領で計算していくと、次第に残り２種から残り１種（リーチ）に確率が移動し、またリーチからコンプへと確率が移動していくことがわかると思います。

結論として、残り１種でリーチがかかった状態の確率は２枚で60%、３枚で30%、４枚で12.6%と、１枚買うごとに約半分ずつになるものの、４枚買ってもまだ12%強もコンプできないわけです。これがガチャの恐ろしさですね。

もう少し整理すると

残２，リーチ、コンプの状態遷移確率（条件付き確率）を考えると、次のようになります。
＊n-1枚目の時点でコンプのとき：
コンプ：x1 リーチ：x0 残２：x0
＊n-1枚目の時点でリーチのとき：
コンプ：x0.6　リーチ：x0.4　残２：x0
＊n-1枚目の時点で残２のとき：
コンプ：x0.3　リーチ：x0.6　残２：x0.1

n枚目の時点での各状態の確率はn-1枚目の時点での確率をつかって

ただしP(n)(0):n枚目でコンプの確率、 P(n)(1):n枚目でリーチの確率、 P(n)(2):n枚目で残２の確率の意味。
となる。１枚目ではコンプ、リーチ、残２の確率はそれぞれ(0,0,1）ですから、

となります。これからP(n)(0)を計算すると(Wolfram alphaで MatrixPower[{{0,0.6,0.3},{0,0.4,0.6},{0,0,0.1}},n-1]を計算)


となります（グラフは右のように）。横軸のnが大きくなると確率が１に漸近するのがわかります。

これは累積確率なので、コンプするのに必要な平均のn（nの期待値）を求めるためには、ちょうどn枚目でコンプする確率、P_n(0) - P_(n-1)(0)を求める必要があります。これは


となります（グラフは右のように）。
（ちなみにsum -9*0.1^(n-1)+3*0.4^(n-1), n=2 to infinityを計算するとたしかに１になります）
これをつかってnの期待値sum n*(-9*0.1^(n-1)+3*0.4^(n-1)), n=2 to infinityをもとめると、
3.22枚
となります。案外少ない感じがしますがロングテールを引いているので結構な枚数まで確率値があることがわかると思います。

さらに７巻分全部コンプとなると…

以上は１巻分の５種をコンプするのに必要な枚数です。今回の初回封入特典トレカは７巻にわたって封入されていて、それぞれカブリは無さそうですから、それぞれ独立事象と考えることができます。４枚買うと１巻分コンプの確率が100%-12%=88%ですから、７巻分でどれかがコンプできてない確率は
1-0.88^7 = 0.59 = 59%！！
７巻を４枚ずつ買ってもなんと６割はコンプ不可能…。鬼です。つくづく全プレで全部くれる方式になってよかった。そうでなかったら暴動ものです。